九点圆圆心在外心和垂心中点 九点圆

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已知：IC,BH,AG为三角形高,交于N。

E,F,D为三角形三边中点。

P Q O为BN AN CN 中点。

求证：I,H,G,E,F,G,P,Q,O共圆 九点分为三组：垂足I,H,G 中点E,F,D 中点P,Q,O，分两步： 1.由中点E,F,D确定一个圆，现证明垂足I,H,G在其上，比如点H： 考察四边形EFDH，只需证∠F+∠H=180°,只需证∠F+∠EHB=90°，又∠F=∠BCA(平行四边形AEFD)，90°-∠EHB=∠EHA，注意到E是Rt△ABH中点，所以∠BCA=∠EHA，得证。

2.现在六点确定一个圆，只要证中点P,Q,O在这个圆上即可，比如点P： 考察四边形PGDH，只需证∠G+∠H=180°，又∠H=∠NGB=∠AGC=90°，且考虑到P、D是各自Rt△的中点，所以∠G=180°/2=90°，即得证。

综上，得证 。

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