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莱布尼茨公式证明 莱布尼茨公式

时间:2024-07-01 03:03:16 来源:
导读 大家好,我是小典,我来为大家解答以上问题。莱布尼茨公式证明,莱布尼茨公式,很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!牛顿-莱布尼茨公...

大家好,我是小典,我来为大家解答以上问题。莱布尼茨公式证明,莱布尼茨公式,很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

牛顿-莱布尼茨公式   牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。

下面就是该公式的证明全过程:   我们知道,对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:   b(上限)∫a(下限)f(x)dx   现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数:   Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(x)dx   但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。

为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了:   Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt   接下来我们就来研究这个函数Φ(x)的性质:   定义函数Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt,则Φ’(x)=f(x)。

  证明:让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量   ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt   显然,x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt   而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,   也可自己画个图,几何意义是非常清楚的。

)   当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)   可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。

  2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a),F(x)是f(x)的原函数。

  证明:我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x)+C=F(x)   但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a],故面积为0),所以F(a)=C   于是有Φ(x)+F(a)=F(x),当x=b时,Φ(b)=F(b)-F(a),   而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt,所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F(a)   把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。

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