所有复杂的多物理场模拟背后都有更为复杂的数学算法，这些算法用于求解描述物理现象运动的方程，例如聚变反应中固有的辐射扩散和燃烧等离子体过程。这些算法中通常使用预条件求解器来转换问题，以便快速准确地收敛到解决方案。
《SIAM Journal on Scientific Computing》最近发表的一篇论文介绍了专门针对在基于图形处理单元 (GPU) 的超级计算机上运行的模拟而优化的求解器。作者是来自 LLNL 应用科学计算中心的计算数学家 Tzanio Kolev，以及 Will Pazner 和 Panayot Vassilevski，他们都是前利弗莫尔研究员，目前在波特兰州立大学任职。
该团队的算法解决了 MARBL 所依赖的辐射扩散方程，MARBL 是一种任务关键型流体动力学代码，目前正在利弗莫尔即将推出的百亿亿次超级计算机 El Capitan 等 GPU 上运行。
“MARBL 的辐射扩散模型需要一种特定类型的求解器才能实现 GPU 效率。我们的算法针对这种情况进行了优化，”该论文的主要作者 Pazner 表示。
分解数学
为了加快计算速度，这些求解器将物理系统细分为有限元空间，称为 H(div)。这种离散化会增加有限元的数量，同时减小其大小 - 想象一下 3D 网格分解成越来越小的正方形，同时保持恒定的总体积。
H(div) 是一组被称为 de Rham 复合形的微分方程中的四个有限元空间之一，所有这些方程都被纳入了利弗莫尔领导的 MFEM(模块化有限元方法)软件库中。
“在整个研究过程中，我们为其他空间开发了有效的求解器，但还没有找到解决 H(div) 的最佳方法。我们知道我们可以做得更好，”Koley 说。
许多有限元都是用矩阵计算的，矩阵中的数字按行和列排列。但当矩阵太大而无法高效计算时(例如在大规模流体动力学模拟中)，无矩阵算法是唯一可行的方法。
“高阶问题在 GPU 上运行的成本过高，这不仅是因为计算量大，还因为内存传输。基于矩阵的算法经常导致 GPU 出现内存瓶颈，因此我们需要提出一种算法，既能得出相同的解决方案，又能避免矩阵的处理和存储，”Pazner 说道。
尽管配备了无矩阵德拉姆求解器，但该团队仍然缺少一些东西来减轻 H(div) 的计算负担。转折点是他们决定在鞍点系统的背景下重新表述问题，鞍点系统的表面在绘制在图表上时类似于马鞍。本质上，他们将原始问题变成了两个具有不同数学结构的耦合问题。
鞍点技术可能看起来违反直觉，但随着研究人员尝试其他技术，这种技术最终脱颖而出。
“将问题重新转化为鞍点公式可以扩展原始的压缩、紧密堆积公式，”帕兹纳说。“结构变得更大，但也更易于解决。”
该团队的创新型 H(div) 求解器有效地结合了上述所有方法。“以鞍点形式看待问题使我们能够以有利的方式利用无矩阵结构，”Kolev 表示，并将这一突破归功于他的合著者。
“H(div) 是我们用户在 de Rham 工具箱中的最后一款工具。我们考虑这个问题已经很长时间了，现在我们在所有 de Rham 空间中都有最先进的方法。”