轨迹创建沿着所需路径滚动的形状

通常，当我们想到滚动的物体时，我们倾向于想象一个环面(如自行车车轮)或一个球体(如网球)，它们在滚动时始终遵循直线路径。然而，数学和科学的世界总是对探索新的思想和概念持开放态度。这就是为什么研究人员一直在研究不沿直线滚动的形状，如球面、球面等。

所有这些时髦的形状对研究人员来说都非常有趣，因为它们可以向我们展示平稳有效地移动物体的新方法。例如，想象一下减少玩具机器人移动所需的能量，或者用外观独特的勺子更彻底地混合原料。虽然这些奇特的形状之前已经被研究过，但科学家们现在更进一步。

考虑一个游戏，您在倾斜的桌子上画一条路径，类似于倾斜弹球桌以使球朝特定方向移动。现在，尝试想出一个3D对象，当放置在桌子顶部时，它会向下滚动并完全遵循该路径，而不是直接向下滚动。这个游戏还有一些其他规则：桌子需要稍微倾斜(但不能太大)，滚动过程中不应打滑，并且可以在启动时选择物体的初始方向。另外，你绘制的路径绝不能是上坡路，而且必须是周期性的。它还必须由相同的重复片段组成——有点像音乐节奏模式。

UNIST下属的一个国际研究团队正在思考是否有可能找到这场游戏的制胜策略。他们想知道，对于任何给定的重复路径，是否可以设计一个可以滚动以独立遵循该路径的形状。我们的目标是开发一种通用方法，不仅适用于简单的曲线，而且适用于复杂且交织的路径。为此目的创建的形状奇怪的物体被称为“轨迹”。

乍一看，3D对象似乎不可能在导航所有角度和曲线时自动遵循预定的滚动路径。然而，科学家们首先简化了问题。他们设想从一个完美光滑的篮球开始，上面覆盖着类似于粘土的灵活、可修剪的材料。通过策略性地去除篮球表面与桌子接触的部分，同时确保篮球本身始终接触路径，可以逐渐将物体雕刻成定制形状。当独立滚动时，所得的形状将神奇地遵循相同的路径。应用这个概念，科学家们成功地设计了一种创建轨迹的新方法。

这些轨迹不仅是理论上的，而且是现实的。研究人员对它们进行了3D打印并进行了成功的实验。他们甚至冒险制作偶尔上坡或遵循自相交路径的轨迹。您甚至可以亲自针对您想要的任何路径尝试新算法，因为研究人员发布了一个在线工具，用于生成轨迹的3D打印就绪文件。

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图片来源：《自然》(2023)。DOI：10.1038/s41586-023-06306-y

为了使轨迹成功，它必须无限期地遵循周期性路径，每次完成一定数量的周期时保持相同的方向。关键在于轨迹在一次“完整旋转”中完成了多少个路径周期，从而恢复其方向。创建一个在每个路径周期完成一次旋转的轨迹似乎是极不可能的。但另一方面，研究人员已经证明，设计一个每次旋转完成两个路径周期的轨迹几乎总是可能的。

这种每转两个周期的特性是3D空间中旋转的惊人一般特性的体现，可用于许多科学领域，其中现象可以在数学上描述为3D旋转，例如，在量子计算、量子光学中和经典光学。

在量子物理学中，有一个称为“布洛赫球”的概念，用于描述量子态。这些状态涵盖了量子系统(例如量子位或量子位)可能处于的所有可能情况。正如沿着路径滚动的球体提供有关其在特定点和方向上的运动的信息一样，布洛赫球代表了独特的量子位状态，这些状态的变化反映了滚动球体的运动。

鉴于这种数学相似性，科学家可以使用相同的算法来设计轨迹，以帮助验证量子计算机的准确性。科学家经常通过检查布洛赫球上的点在特定动作后返回其原始位置的程度来评估这种准确性，就像轨迹完成一整圈并在经过两个路径周期后恢复其方向一样。

制作可定制轨迹的科学还与另一个看似无关的领域相关——通过MRI进行疾病诊断。“自旋”是质子等粒子的基本属性，质子构成我们体内的氢原子。质子的行为就像微小的磁铁，它们的“自旋”决定了它们的磁性“北”的方向。这一特性对于医院中用于患者扫描的磁共振成像(MRI)机器至关重要。

为了将其与布洛赫球体联系起来，请考虑布洛赫球体上的每个点和方向代表一个独特的质子自旋状态，非常类似于我们的轨迹的方向。MRI机器使用强大的磁场将体内的这些质子磁铁沿一个方向排列。随后，他们使用无线电波来破坏这种排列。当质子自然地重新排列时，它们会发出可以测量的信号并用于创建详细的内部图像。

了解每个质子如何返回到布洛赫球体上的原点有助于科学家区分人体组织并识别异常情况。从数学上讲，质子自旋状态类似于轨迹的方向，无线电波代表路径，无线电波引起的质子自旋的变化相当于轨迹沿路径的滚动运动。

轨迹算法背后的数学揭示了如何对任何给定的MRI无线电波脉冲进行微调，以便连续重复脉冲两次将所有质子自旋恢复到原始状态。这种见解可能会增强MRI机器并更准确地改善疾病诊断。

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